Одним из важнейших этапов развития гармоничной личности является способность мыслить творчески, чтобы развить подобного рода способность необходимо систематическое привлечение учеников к исследовательской математической деятельности. В качестве примера исследовательской деятельности может выступать обучение составлению уравнения касательной к графику функции.
Отметим, что, по сути, все эти задачи указанного типа сводятся к отбору из определенного количества прямых тех, которые удовлетворяют заявленным требованиям. При этом множество прямых может быть задано одним из следующих способов:
- При помощи углового коэффициента, или параллельного пучка прямых,
- При помощи точки, которая лежит на плоскости хОу, или центрального пучка прямых.
Чтобы разобраться с уравнением касательной к графику функции, возьмем точку М (а; f(а)), а также функцию у = f(х), при этом нам также известно, что есть f'(а). Отметим, что уравнение касательной к графику функции, собственно, как и уравнение любой прямой, которая не параллельна оси ординат, имеет следующий вид: у = кх+m, отсюда мы получаем, что основная наша задача сводится к тому, чтобы найти к и m.
Рассмотрим вариант с угловым коэффициентом. Нам известно, что к = f'(а) и что искомая прямая проходит через М(а; f (а)), поэтому, если мы подставим координаты точки М в уравнение, то в итоге получим верное равенство следующего вида: f(а) = ка+m, исходя из этого, мы приходим к выводу, что m = f(а) — ка. Нам осталось подставить эти значения в уравнение. Итак, получаем, что у= f(а)+f'(а) (х±а). Таким образом, мы получили уравнение касательной у = f(х) в точке х, равной а.
Алгоритм составления уравнения касательной к графику функции имеет следующий вид:
- Прежде всего, необходимо обозначить абсциссу точки касания. Обычно ее обозначают буквой «а».
- Затем необходимо вычислить 1(а).
- После этого, находим f'(х), а также вычисляем f'(а).
- Далее подставляем найденные числа а и f(а) в формулу у= f(а)+f'(а) (х±а).
Как показывает практика, последовательное решение каждой из указанных задач позволяет сформировать умение написания уравнения касательной к графику функции. Этот подход был разработан Н.Ф. Талызиной и П.Я. Гальпериным.
С помощью данного уравнения касательной к графику функции можно находить угол между касательной и осью Ох, тангенс угла или же производную функции в точке касания.
